Roboty - Notacja Denavita-Hartenberga

Roboty - Notacja Denavita-Hartenberga

Biorąc pod uwagę, iż każde złącze (oś) robota ma jeden stopień swobody (połączenie klasy V), działanie każdego złącza można opisać jedną liczbą rzeczywistą (zmienną złączową/osiową): kątem obrotu w przypadku członu obrotowego lub przemieszczeniem w przypadku członu pryzmatycznego (przesuwnego). W związku z powyższym do opisu kinematyki robotów można wykorzystywać podejście oparte na równaniach mechaniki klasycznej, lub zastosować odpowiednią konwencję obliczeń.

Z uwagi na fakt, iż podczas rozwiązywania zadań kinematyki manipulatorów może dojść do niejednoznacznego przyjmowania układów współrzędnych (ich położenia i orientacji), a co za tym idzie powstawania utrudnień w analizie wyników obliczeń (zwłaszcza jeśli analizę prowadzą osoby, które nie wykonywały obliczeń), należy stosować się do pewnych ogólnie przyjętych zasad [I.7, I.22, I.23, I.27]. 

Analizą mechanizmów zajmowano się już w XIX wieku. Wielu naukowców szukało metody, która umożliwiałaby nie tylko analizę mechanizmów istniejących, ale również syntezę nowych. Opracowanie nowej, niezawodnej metody zapoczątkował F. Reloux w 1900 roku. Jednak dopiero w latach 50. udało się utworzyć notację występującą do dzisiaj pod nazwą Denavita-Hartenberga (dalej: notacja D-H). Jak wcześniej wspomniano, możliwe jest dokonanie obliczeń nie przestrzegając tej konwencji, jednak w celu uproszczenia równań oraz dla kreowania uniwersalnego języka, notacja ta jest bardzo często  wykorzystywana do opisu kinematyki.

Jak wiele istniejących metod, również notacja D-H ma zalety i wady. Do zalet z całą pewnością należy zaliczyć:
• możliwość opisu typu mechanizmu;
• możliwość przedstawienia ruchu mechanizmu;
• możliwość opisu ruchu za pomocą równań matematycznych.

Jej główne wady to:
• opis par kinematycznych niższego rzędu;
• komplikacja obliczeń.

Zaproponowany przez J. Denavita i R.S. Hartenberga specjalny układ współrzędnych umożliwia opis prostej w przestrzeni czterema (rys. 2.11b), a nie pięcioma (rys. 2.11a) parametrami.

Rys. 2.11. Układy współrzędnych: a) układ tradycyjny, b) układ współrzędnych według notacji D-H

Odnosząc opis do układu manipulatora można powiedzieć, że położenie dwóch kolejnych układów współrzędnych i-1 oraz i może być określone za pomocą czterech parametrów (rys. 2.12).

Rys. 2.12. Charakterystyka notacji D-H

Oś wiążąca dwa człony kinematyczne nazywana jest osią pary kinematycznej. W przypadku par kinematycznych klasy V (pary mające jeden stopień swobody), osiami pary kinematycznej są:
• oś obrotu członu i względem i-1 dla pary obrotowej – oś zi-1;
• prosta o kierunku przemieszczania się członu i względem i-1 dla pary przesuwnej – oś zi-1.

Wzajemne usytuowanie dwóch kolejnych układów wyznaczają parametry:
• kąt konfi guracji członów θi powstały w wyniku obrotu wokół osi zi-1 do momentu, aż osie xi-1 i xi staną się równoległe;
• odsunięcie członu si powstałe w wyniku przesunięcia wzdłuż osi zi-1 do momentu, aż osie xi-1 i xi pokryją się;
• długość członu αi powstała w wyniku przesunięcia wzdłuż osi xi do momentu, aż początki układów 0i-1 i 0i pokryją się;
• kąt skręcenia członu αi powstały w wyniku obrotu wokół osi xi do momentu, aż pokryją się wszystkie osie.

Spośród czterech wymienionych parametrów ai oraz ai są zawsze stałe, ponieważ określa je konstrukcja członów. Dwa pozostałe natomiast mogą być zmienne.

Ogólnie dla wektora przemieszczenia we współrzędnych jednorodnych można zapisać:

gdzie:
Rotz(i -1) – macierz transformacji jednorodnej dla czystego obrotu wokół osi zi-1;
Pz(i-1) – macierz transformacji jednorodnej dla czystego przemieszczenie wzdłuż osi zi-1;
Px(i) – macierz transformacji jednorodnej dla czystego przemieszczenie wzdłuż osi xi;
Rotx(i) – macierz transformacji jednorodna dla czystego obrotu wokół osi xi.

Po wymnożeniu (2.29) macierz transformacji jednorodnej przyjmuje postać:

Aby można było jednoznacznie zdefi niować kierunki osi (wersory kierunkowe) układów: układy Oi-1 oraz Oi charakteryzują się następującymi własnościami (rys. 2.13):

• oś xi jest prostopadła do osi zi-1 – warunek D-H1
• oś xi przecina oś zi-1 – warunek D-H2.

Rys. 2.13. Wzajemne położenie sąsiadujących ze sobą układów współrzędnych (źródło: opracowano na podstawie [I.22, I.23, I.27])

Początek układu Oi nie musi leżeć na przegubie i. Poza tym istnieje wiele możliwości wyboru położenia układów (dwóch inżynierów może przypisać kolejne układy w różny sposób). W celu ustalenia i-tego układu, niezbędne jest rozpatrzenie
dwóch przypadków:

1. Osie zi-1, zi nie leżą w jednej płaszczyźnie (rys. 2.14) – wówczas istnieje dokładnie jeden odcinek prostopadły do obu osi, który łączy obie osie i ma najmniejszą długość. Prostą zawierającą ten odcinek (prostopadłą do osi zi-1 i zi.) należy obrać za oś xi, a punkt przecięcia z osią zi. przyjąć za początek układu Oi. Oś yi dobiera się tak, aby tworzyła z pozostałymi osiami układ prawoskrętny.

Rys. 2.14. Wzajemne położenie sąsiadujących ze sobą układów współrzędnych: osie zi-1, zi nie leżą w jednej płaszczyźnie
(źródło: na podstawie [I.22, I.23, I.27])

2. Osie zi-1, zi leżą w jednej płaszczyźnie:
a) są równoległe – istnieje wówczas nieskończenie wiele wspólnych normalnych między nimi, dlatego przyjmuje się, że:
• oś xi jest prostopadła do zi-1;
• wybrany na i-tym przegubie początek układu Oi spełnia warunek, że oś xi przez niego przechodzi;

b) przecinają się – oś xi jest skierowana prostopadle do zi-1 oraz zi i przyjmowana jest zgodnie z zasadą przedstawioną na rysunku 2.15a (oś xi jest normalna do płaszczyzny, na której leżą osie zi-1 oraz zi). Można też przyjąć oś xi jako prostopadłą do płaszczyzny wyznaczonej przez osie zi-1 i zi na przecięciu się tych osi. Oś yi dobiera się tak, aby tworzyła z pozostałymi osiami układ prawoskrętny.

Układ współrzędnych związany z chwytakiem orientuje się oddzielnie (rys. 2.15b):
• oś zn określa kierunek zbliżania się chwytaka do obiektu (ang. a-approach);
• oś yn leży w płaszczyźnie chwytania – wzdłuż tej osi poruszają się szczęki chwytaka (ang. s-sliding);
• oś xn jest prostopadła do płaszczyzny wyznaczonej przez osie zn i yn i tworzy z nimi układ prawoskrętny (ang. n-normal).

Rys. 2.15. Zasada przyjmowania osi układów: a) w osiach manipulatora, b) w chwytaku 

Dla przykładu przedstawiono metodykę wyznaczenia jednorodnej macierzy transformacji 0T3 manipulatora przedstawionego na rysunku 2.16 przy wykorzystaniu notacji D-H.

Rys. 2.16. Widok manipulatora dwuramiennego

Zadanie można rozwiązać, opierając się na zasadach rozważania wcześniej przedstawionych układów manipulatorów. Wprowadzono cztery układy współrzędnych.

Położenie i orientację występujących w manipulatorze układów można zestawić w tabeli 2.1.

Tabela 2.1. Położenie i orientacja układów występujących w manipulatorze

W przypadku fizycznego stanowiska zrobotyzowanego, wyznaczenie położenia poszczególnych układów współrzędnych względem układu bazowego, realizowane jest zgodnie z instrukcjami dostarczanymi przez producenta. Położenie układów
WORLD i BASE standardowo umieszczone jest w tym samym miejscu u podstawy robota. Układ WORLD można oczywiście przemieścić, o ile wymaga tego konstrukcja stanowiska i potrzeba ustawienia robota względem punktu odniesienia na stanowisku. Położenie układu interfejsu mechanicznego (Def_TPC) jest zdefiniowane przez producenta, ale pozostałe układy współrzędnych, wykorzystywane podczas programowania robotów, powinny być zdefi niowane przez użytkownika.

Należy zauważyć, że niezależnie od postawionego zadania, każdy program sterujący robotem odpowiada za przemieszczanie narzędzia, jakim operuje robot, zgodnie z wymaganą w danym procesie technologicznym trajektorią. Trajektoria ta stanowi zaś zbiór punktów wytyczonych przez punkt TCP narzędzia w funkcji czasu względem aktywnego układu współrzędnych (zakładając, że robot będzie poruszał się w układzie współrzędnych zadania TF, będą to punkty TFP[i]TCP_Tool. W zależności od wybranego typu ruchu, punkty pośrednie będą interpolowane liniowo, kołowo lub nie będą wyznaczane przez kontroler robota.

Programowanie robotów przemysłowych(Miękka), Wydanie: Warszawa, I, 2017, Autor: dr inż. Panasiuk Jarosław, ppłk dr inż. Wojciech Kaczmarek, Wydawca: Wydawnictwo Naukowe PWN

Podobne artykuły

Podziel się ze znajomymi tym artykułem - udostępnij na FB lub wyślij e-maila korzystając z poniższych opcji:

wszystkie oferty