Roboty - Notacja Denavita-Hartenberga

Biorąc pod uwagę, iż każde złącze (oś) robota ma jeden stopień swobody (połączenie klasy V), działanie każdego złącza można opisać jedną liczbą rzeczywistą (zmienną złączową/osiową): kątem obrotu w przypadku członu obrotowego lub przemieszczeniem w przypadku członu pryzmatycznego (przesuwnego). W związku z powyższym do opisu kinematyki robotów można wykorzystywać podejście oparte na równaniach mechaniki klasycznej, lub zastosować odpowiednią konwencję obliczeń.

Z uwagi na fakt, iż podczas rozwiązywania zadań kinematyki manipulatorów może dojść do niejednoznacznego przyjmowania układów współrzędnych (ich położenia i orientacji), a co za tym idzie powstawania utrudnień w analizie wyników obliczeń (zwłaszcza jeśli analizę prowadzą osoby, które nie wykonywały obliczeń), należy stosować się do pewnych ogólnie przyjętych zasad [I.7, I.22, I.23, I.27]. 

Analizą mechanizmów zajmowano się już w XIX wieku. Wielu naukowców szukało metody, która umożliwiałaby nie tylko analizę mechanizmów istniejących, ale również syntezę nowych. Opracowanie nowej, niezawodnej metody zapoczątkował F. Reloux w 1900 roku. Jednak dopiero w latach 50. udało się utworzyć notację występującą do dzisiaj pod nazwą Denavita-Hartenberga (dalej: notacja D-H). Jak wcześniej wspomniano, możliwe jest dokonanie obliczeń nie przestrzegając tej konwencji, jednak w celu uproszczenia równań oraz dla kreowania uniwersalnego języka, notacja ta jest bardzo często  wykorzystywana do opisu kinematyki.

Jak wiele istniejących metod, również notacja D-H ma zalety i wady. Do zalet z całą pewnością należy zaliczyć:
• możliwość opisu typu mechanizmu;
• możliwość przedstawienia ruchu mechanizmu;
• możliwość opisu ruchu za pomocą równań matematycznych.

Jej główne wady to:
• opis par kinematycznych niższego rzędu;
• komplikacja obliczeń.

Zaproponowany przez J. Denavita i R.S. Hartenberga specjalny układ współrzędnych umożliwia opis prostej w przestrzeni czterema (rys. 2.11b), a nie pięcioma (rys. 2.11a) parametrami.

Rys. 2.11. Układy współrzędnych: a) układ tradycyjny, b) układ współrzędnych według notacji D-H

Odnosząc opis do układu manipulatora można powiedzieć, że położenie dwóch kolejnych układów współrzędnych i-1 oraz i może być określone za pomocą czterech parametrów (rys. 2.12).

Rys. 2.12. Charakterystyka notacji D-H

Oś wiążąca dwa człony kinematyczne nazywana jest osią pary kinematycznej. W przypadku par kinematycznych klasy V (pary mające jeden stopień swobody), osiami pary kinematycznej są:
• oś obrotu członu i względem i-1 dla pary obrotowej – oś z_i-1;
• prosta o kierunku przemieszczania się członu i względem i-1 dla pary przesuwnej – oś z_i-1.

Wzajemne usytuowanie dwóch kolejnych układów wyznaczają parametry:
• kąt konfi guracji członów θ_i powstały w wyniku obrotu wokół osi z_i-1 do momentu, aż osie x_i-1 i x_i staną się równoległe;
• odsunięcie członu s_i powstałe w wyniku przesunięcia wzdłuż osi z_i-1 do momentu, aż osie x_i-1 i x_i pokryją się;
• długość członu α_i powstała w wyniku przesunięcia wzdłuż osi x_i do momentu, aż początki układów 0_i-1 i 0_i pokryją się;
• kąt skręcenia członu αi powstały w wyniku obrotu wokół osi xi do momentu, aż pokryją się wszystkie osie.

Spośród czterech wymienionych parametrów a_i oraz a_i są zawsze stałe, ponieważ określa je konstrukcja członów. Dwa pozostałe natomiast mogą być zmienne.

Ogólnie dla wektora przemieszczenia we współrzędnych jednorodnych można zapisać:

gdzie:
Rot_{z(i -1)} – macierz transformacji jednorodnej dla czystego obrotu wokół osi z_i-1;
P_z(i-1) – macierz transformacji jednorodnej dla czystego przemieszczenie wzdłuż osi z_i-1;
P_x(i) – macierz transformacji jednorodnej dla czystego przemieszczenie wzdłuż osi x_i;
Rot_x(i) – macierz transformacji jednorodna dla czystego obrotu wokół osi x_i.

Po wymnożeniu (2.29) macierz transformacji jednorodnej przyjmuje postać:

Aby można było jednoznacznie zdefi niować kierunki osi (wersory kierunkowe) układów: układy O_i-1 oraz O_i charakteryzują się następującymi własnościami (rys. 2.13):

• oś x_i jest prostopadła do osi z_i-1 – warunek D-H₁
• oś x_i przecina oś z_i-1 – warunek D-H₂.

Rys. 2.13. Wzajemne położenie sąsiadujących ze sobą układów współrzędnych (źródło: opracowano na podstawie [I.22, I.23, I.27])

Początek układu O_i nie musi leżeć na przegubie i. Poza tym istnieje wiele możliwości wyboru położenia układów (dwóch inżynierów może przypisać kolejne układy w różny sposób). W celu ustalenia i-tego układu, niezbędne jest rozpatrzenie
dwóch przypadków:

1. Osie z_i-1, z_i nie leżą w jednej płaszczyźnie (rys. 2.14) – wówczas istnieje dokładnie jeden odcinek prostopadły do obu osi, który łączy obie osie i ma najmniejszą długość. Prostą zawierającą ten odcinek (prostopadłą do osi z_i-1 i z_i.) należy obrać za oś x_i, a punkt przecięcia z osią z_i. przyjąć za początek układu O_i. Oś y_i dobiera się tak, aby tworzyła z pozostałymi osiami układ prawoskrętny.

Rys. 2.14. Wzajemne położenie sąsiadujących ze sobą układów współrzędnych: osie z_i-1, zi nie leżą w jednej płaszczyźnie
(źródło: na podstawie [I.22, I.23, I.27])

2. Osie z_i-1, zi leżą w jednej płaszczyźnie:
a) są równoległe – istnieje wówczas nieskończenie wiele wspólnych normalnych między nimi, dlatego przyjmuje się, że:
• oś xi jest prostopadła do z_i-1;
• wybrany na i-tym przegubie początek układu O_i spełnia warunek, że oś x_i przez niego przechodzi;

b) przecinają się – oś x_i jest skierowana prostopadle do z_i-1 oraz z_i i przyjmowana jest zgodnie z zasadą przedstawioną na rysunku 2.15a (oś x_i jest normalna do płaszczyzny, na której leżą osie z_i-1 oraz zi). Można też przyjąć oś x_i jako prostopadłą do płaszczyzny wyznaczonej przez osie z_i-1 i z_i na przecięciu się tych osi. Oś y_i dobiera się tak, aby tworzyła z pozostałymi osiami układ prawoskrętny.

Układ współrzędnych związany z chwytakiem orientuje się oddzielnie (rys. 2.15b):
• oś z_n określa kierunek zbliżania się chwytaka do obiektu (ang. a-approach);
• oś y_n leży w płaszczyźnie chwytania – wzdłuż tej osi poruszają się szczęki chwytaka (ang. s-sliding);
• oś x_n jest prostopadła do płaszczyzny wyznaczonej przez osie z_n i y_n i tworzy z nimi układ prawoskrętny (ang. n-normal).

Rys. 2.15. Zasada przyjmowania osi układów: a) w osiach manipulatora, b) w chwytaku 

Dla przykładu przedstawiono metodykę wyznaczenia jednorodnej macierzy transformacji ⁰T₃ manipulatora przedstawionego na rysunku 2.16 przy wykorzystaniu notacji D-H.

Rys. 2.16. Widok manipulatora dwuramiennego

Zadanie można rozwiązać, opierając się na zasadach rozważania wcześniej przedstawionych układów manipulatorów. Wprowadzono cztery układy współrzędnych.

Położenie i orientację występujących w manipulatorze układów można zestawić w tabeli 2.1.

Tabela 2.1. Położenie i orientacja układów występujących w manipulatorze

W przypadku fizycznego stanowiska zrobotyzowanego, wyznaczenie położenia poszczególnych układów współrzędnych względem układu bazowego, realizowane jest zgodnie z instrukcjami dostarczanymi przez producenta. Położenie układów
WORLD i BASE standardowo umieszczone jest w tym samym miejscu u podstawy robota. Układ WORLD można oczywiście przemieścić, o ile wymaga tego konstrukcja stanowiska i potrzeba ustawienia robota względem punktu odniesienia na stanowisku. Położenie układu interfejsu mechanicznego (Def_TPC) jest zdefiniowane przez producenta, ale pozostałe układy współrzędnych, wykorzystywane podczas programowania robotów, powinny być zdefi niowane przez użytkownika.

Należy zauważyć, że niezależnie od postawionego zadania, każdy program sterujący robotem odpowiada za przemieszczanie narzędzia, jakim operuje robot, zgodnie z wymaganą w danym procesie technologicznym trajektorią. Trajektoria ta stanowi zaś zbiór punktów wytyczonych przez punkt TCP narzędzia w funkcji czasu względem aktywnego układu współrzędnych (zakładając, że robot będzie poruszał się w układzie współrzędnych zadania TF, będą to punkty TFP[i]_{TCP_Tool}. W zależności od wybranego typu ruchu, punkty pośrednie będą interpolowane liniowo, kołowo lub nie będą wyznaczane przez kontroler robota.

Programowanie robotów przemysłowych(Miękka), Wydanie: Warszawa, I, 2017, Autor: dr inż. Panasiuk Jarosław, ppłk dr inż. Wojciech Kaczmarek, Wydawca: Wydawnictwo Naukowe PWN