Modelowanie silnika prądu stałego
Przeprowadzić symulację komputerową nieustalonego rozruchu obcowzbudnego silnika
prądu stałego. Przy zasilaniu znamionowym zamodelować rozruch bezpośredni
oraz rozruch z dodatkową rezystancją o wartości Rd = 1,5 Ω włączoną w obwód
twornika. Ponadto przeanalizować wpływ metody całkowania na wyniki symulacji.
Do badań symulacyjnych wykorzystać model matematyczny silnika obcowzbudnego,
w którym pominięto stan przejściowy w obwodzie wzbudzenia, uwzględniono
straty mechaniczne, pominięto oddziaływanie twornika i przyjęto liniową charakterystykę
magnesowania. Ponadto przyjąć, że silnik współpracuje z obciążeniem
o momencie obrotowym proporcjonalnym do kwadratu prędkości obrotowej (charakterystyka
wentylatorowa). Przyjąć następujące dane silnika: moc znamionowa
Pn = 5,5 kW, prędkość znamionowa nn = 3000 obr/min, napięcie znamionowe
(twornika i wzbudzenia) Un = Ufn = 220 V, prąd znamionowy twornika Itn = 29,6 A,
rezystancja uzwojenia twornika Rt = 1,02 Ω, indukcyjność uzwojenia twornika
Lt = 9 mH, sumaryczny moment bezwładności silnika i obciążenia J = 0,35 kg?m2,
stosunek strat na wentylację do strat na tarcie Dwt = 3.
Rozwiązanie
Zgodnie z przedstawioną procedurą modelowania w systemach CAD jednym
z pierwszych etapów jest przyjęcie zestawu założeń upraszczających, które są integralną
częścią modelu matematycznego. W niniejszym przykładzie przyjęto następujące
założenia upraszczające, przy czym część założeń jest ze sobą wzajemnie
powiązanych:
•• liniowa charakterystyka magnesowania rdzenia (liniowy obwód magnetyczny),
•• brak oddziaływania twornika (oddziaływanie jest pomijalne),
•• prostokątny przebieg pola magnetycznego pod biegunami głównymi maszyny,
w tym pominięcie odkształcenia pola związanego z obecnością żłobków twornika,
•• brak zjawisk towarzyszących komutacji, w tym zjawisk związanych z iskrzeniem
(zjawiska są pomijalne),
•• temperatura maszyny nie zmienia się w czasie lub inaczej parametry silnika nie
zmieniają się przy zmianach temperatury,
•• brak strat na przemagnesowanie rdzenia twornika (straty te są pomijalne w stosunku
do innych strat silnika).
W konsekwencji modelowaniu podlega zjawisko indukcji elektromagnetycznej
(dla maszyny prądu stałego powoduje to uwzględnienie napięcia rotacji i transformacji
[65, 141, 208, 214, 230]) i zjawisko oddziaływania dwóch pól magnetycznych,
czyli powstawanie siły elektrodynamicznej, a w konsekwencji momentu elektromechanicznego.
Dodatkowymi modelowanymi zjawiskami są straty mechaniczne
związane z tarciem i wentylacją maszyny.
Dla przyjętych założeń upraszczających równanie opisujące stan przejściowy
w obwodzie twornika obcowzbudnego silnika prądu stałego z włączoną rezystancją
dodatkową Rd jest następujące:
Przy stałej wartości strumienia głównego (czyli pomijalnym oddziaływaniu
twornika i założeniu stałej wartości prądu wzbudzenia), siła elektromotoryczna indukowana
w uzwojeniu twornika E(t) jest proporcjonalna do prędkości obrotowej
maszyny. Współczynnik proporcjonalności wynosi:
gdzie If/Ifn – względna wartość prądu wzbudzenia (przy pominięciu stanu przejściowego
w obwodzie wzbudzenia można przyjąć If/Ifn = Uf/Ufn), Utn, Itn, nn – znamionowe
dane analizowanej maszyny.
Równanie różniczkowe obwodu twornika, po przekształceniu do postaci kanonicznej,
można zapisać w następującej postaci:
Drugim równaniem różniczkowym opisującym stan przejściowy obcowzbudnego
silnika prądu stałego jest równanie ruchu. Równanie to, przy założeniu stałego
momentu bezwładności mas wirujących silnika i obciążenia J, przedstawia się następująco:
gdzie ω – prędkość kątowa wału silnika, Mes – moment elektromechaniczny silnika,
Mobc_c – całkowity moment obciążenia.
Dla przyjętych założeń upraszczających moment elektromechaniczny silnika Mes jest proporcjonalny do prądu twornika It, przy czym współczynnik proporcjonalności wynosi:
W związku z powyższym równanie ruchu analizowanego silnika można zapisać w postaci:
Kolejny krok w tworzeniu modelu matematycznego polega na uwzględnieniu
strat mechanicznych związanych z tarciem ΔPt i wentylacją ΔPw. Uwzględnia się je,
wprowadzając do równania ruchu dwa składniki, w których na podstawie aktualnej
wartości prędkości obrotowej n(t) wyznaczane są wartości momentu związanego
z tarciem Mt(n) i wentylacją Mw(n).
gdzie Mobc(t) jest wartością momentu obciążenia przyłożonego do wału silnika.
W uproszczeniu można przyjąć, że moment tarcia jest wielkością stałą o kierunku
zgodnym z kierunkiem wirowania maszyny (rys. 2.1a). Implikuje to, że w modelu
matematycznym moment tarcia byłby reprezentowany przez funkcję signum. Takie
założenie powoduje jednak, że reprezentacja tego momentu w modelu symulacyjnym
wprowadza nieciągłość dla zerowej wartości prędkości obrotowej (dla zerowej
prędkości obrotowej występuje nieciągłość funkcji signum). Aby tego uniknąć,
można przyjąć, że moment tarcia zmienia się zgodnie z charakterystyką przedstawioną
na rysunku 2.1b.
Współczynnik kierunkowy aot liniowej części charakterystyki momentu tarcia
można wyznaczyć z zależności:
Rysunek 2.1. Przykłady funkcji reprezentujących moment tarcia
Uwzględnienie strat mocy na tarcie i wentylację wymaga modyfikacji wartości
współczynnika c2. Przyjęcie do modelowania współczynnika c2 zgodnie z równaniem
(2.5) powoduje, że wartość momentu elektromagnetycznego wytwarzanego
w stanie znamionowym jest mniejsza o moment potrzebny na tarcie i wentylację
silnika. Wobec tego należy przyjąć zmodyfikowaną wartość współczynnika proporcjonalności
prądu twornika i momentu elektromagnetycznego. Po modyfikacji
współczynnik ten wynosi:
Propozycja modelu symulacyjnego realizującego przyjęte założenia i wyżej
przedstawione zależności jest pokazana na rysunku 2.2.
Rysunek 2.2. Model matematyczny obcowzbudnego silnika prądu stałego z uwzględnieniem strat
mechanicznych zrealizowany w programie Matlak-Simulink
W celu przeprowadzenia symulacji model przedstawiony na rysunku 2.2 zapisano
w pliku o nazwie Model _ DC.mdl. W bloku To Workspace przyjęto czas
próbkowania (Sample time) równy dt, a w bloku Step, reprezentującym napięcie
zasilania silnika, przyjęto skok wartości od 0 do Un po czasie równym 0,1 s.
Poniżej przedstawiono przykładowy skrypt realizujący obliczenia dla dwóch metod
całkowania ze stałym krokiem (FixedStepDiscrete), tj. dla metody Eulera
(w programie Matlab-Simulink nazwa ode1) i metody Rungego–Kutty (ode4):
%SPIS ZMIENNYCH
% Pn – moc znamionowa silnika
% Un – napięcie znamionowe silnika
% Itn - prąd znamionowy silnika
% Nn - prędkość znamionowa silnika
% Rt, Lt – parametry uzwojenia twornika silnika
% J – sumaryczny moment bezwładności silnika i obciążenia
% Dwt – stosunek start na wentylację do strat na tarcie
% DP - straty mocy
% DPm - straty mechaniczne
% DPmt -straty na tarcie
% DPmw - straty na wentylacje
% Mot - moment tarcia
% Mow - moment wentylacji
% aot - współczynnik równania momentu tarcia
% aow - współczynnik równania momentu wentylacji
% ao - współczynnik równania momentu obciążenia
% Rd - wartość rezystancji dodatkowej włączonej
% w obwód twornika
% dt - krok całkowania / krok próbkowania
clear;
%dane silnika
Pn=5500; Un=220; Itn=29.6; Nn=3000;
Rt=1.02; Lt=9e-3; J=0.35; Dwt=3;
%wartość Rd
Rd=0;
%obliczenia parametrów modelu
DP=(Un*Itn)-Pn;
DPm=DP-Rt*Itn^2;
DPmt=DPm/(Dwt+1);
DPmw=DPm-DPmt;
Mot=30*DPmt/(pi*Nn);
Mow=30*DPmw/(pi*Nn);
aot=Mot/(0.05*Nn);
aow=Mow/Nn^2;
ao=(30*Pn/(pi*Nn))/Nn^2;
%symulacja dla dwóch metod całkowania
dt=0.006;
opts = simset('Solver','ode1');
sim('Model_DC',[], opts);
X1=simout;
opts = simset('Solver','ode4');
sim('Model_DC',[], opts);
X2=simout;
%graficzna prezentacja wyników
figure(1);
clf;
axes('FontSize',12);
plot(X1(:,1),X1(:,3),'-k','LineWidth',2); grid;
hold on;
plot(X2(:,1),X2(:,3),'--k','LineWidth',2);
axis([0 1 0 250]);
xlabel('czas','FontSize',12);
ylabel('it{I}
m{_t}, A','FontSize',12);
legend('metoda Eulera (ode1)',...
'metoda Rungego-Kutty (ode4)',...
'Location','NorthEast');
figure(2);
clf;
axes('FontSize',12);
plot(X1(:,1),X1(:,2),'-k','LineWidth',2); grid;
hold on;
plot(X2(:,1),X2(:,2),'--k','LineWidth',2);
xlabel('czas','FontSize',12);
ylabel('it{n}
m, obr/min','FontSize',12);
Uzyskane wyniki symulacji rozruchu bezpośredniego (wartość rezystancji dodatkowej
Rd = 0 Ω) dla dwóch wartości kroku całkowania (dla dt równego 6 i 12 ms)
przedstawiono na rysunku 2.3, a przebiegi dla rozruchu z włączoną rezystancją
Rysunek 2.3. Przykładowe przebiegi prądu twornika It oraz prędkości obrotowej n dla zerowej
wartości rezystancji dodatkowej włączonej w obwód twornika przy kroku całkowania równym:
dt = 6 ms (a) oraz dt = 12 ms (b)
dodatkową o wartości Rd = 1,5 Ω i dla kroku całkowania dt równego 6 ms zamieszczono
na rysunku 2.4. Dla czasu całkowania równego 12 ms model silnika z włączoną
rezystancja rozruchową jest niestabilny.
Rysunek 2.4. Przykładowe przebiegi prądu twornika It oraz prędkości n obrotowej dla wartości
rezystancji dodatkowej włączonej w obwód twornika Rd = 1,5 Ω przy kroku całkowania dt = 6 ms
Wybrane wnioski i propozycje dalszych badań
Analizując uzyskane wyniki, można stwierdzić, że wybór metody i parametrów
całkowania numerycznego (metody symulacji i jej parametrów) ma zasadnicze
znaczenie dla dokładności i stabilności rozwiązania [10–12, 204]. Warto również
zauważyć, że możliwość osiągnięcia zadowalającego rozwiązania (o określonej
dokładności) zależy również od wartości parametrów samego modelu matematycznego
(por. przebiegi prądu twornika w czasie rozruchu dla różnych wartości rezystancji
dodatkowej przy tym samym zadanym kroku całkowania – rys. 2.3a i 2.4).
Jest to ważne zwłaszcza w przypadku zmian parametrów modelu matematycznego
w czasie obliczeń. Sytuacja taka ma miejsce w czasie estymacji parametrów modelu
matematycznego. Wówczas należy sprawdzić, o ile to jest możliwe, czy wprowadzane
zmiany parametrów (pojedyncze parametry lub ich różne konfiguracje) nie
powodują niekorzystnych zmian w wynikach symulacji.
Znajomość metod całkowania w danym programie wykorzystywanym do badań
symulacyjnych jest bardzo ważna. Należy podkreślić, że różne programy stosujące
metodę całkowania o takiej samej nazwie mogą dawać odmienne wyniki symulacji.
Wynikać to może z odmiennej implementacji wykorzystanego algorytmu numerycznego
lub odmiennych metod kontroli dokładności.
Należy też zwrócić uwagę na fakt, że obserwowane różnice w wynikach dla różnych
parametrów symulacji pojawiają się w przebiegu prądu twornika, a praktycznie
są niezauważalne dla przebiegu prędkości obrotowej. Wynika to z innej dynamiki
(tj. szybkości zmian) obu przebiegów. Prąd twornika zmienia się szybciej niż prędkość,
a zatem przyrosty prądu są większe niż przyrosty prędkości. W konsekwencji
dla zadanego kroku całkowania większy błąd może być obserwowany dla prądu niż
dla prędkości.
W ramach samodzielnych badań warto przeanalizować wpływ pozostałych parametrów
metody symulacji (metody całkowania) na uzyskane wyniki, w szczególności
dotyczy to zadanej dokładności. Zasadne jest również zapoznanie się z metodami
całkowania numerycznego o zmiennym kroku całkowania.
